भौतिक रसायन विज्ञान (Physical Chemistry) में गैसों के सूक्ष्म (Microscopic) व्यवहार को समझने के लिए अणुगति सिद्धांत (Kinetic Theory) एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर है। यह सिद्धांत इस तथ्य पर आधारित है कि गैस के अणु लगातार और यादृच्छिक (random) गति करते रहते हैं। अणुओं की इस गति और उनकी ऊर्जा के वितरण को स्पष्ट करने के लिए मैक्सवेल (Maxwell) और बोल्ट्ज़मैन (Boltzmann) ने कुछ गणितीय मॉडल प्रस्तुत किए।

इस लेख में हम मैक्सवेल के वेग वितरण नियम, विभिन्न आण्विक वेगों ($v_{avg}$, $v_{rms}$, $v_{mp}$), औसत गतिज ऊर्जा, और ऊर्जा के समविभाजन के नियम (Law of Equipartition of Energy) का विस्तार से अध्ययन करेंगे। साथ ही, ऊष्माधारिता ($C_p, C_v$) के आण्विक आधार को समझकर परीक्षा-उपयोगी महत्वपूर्ण आंकिक प्रश्नों को हल करेंगे।

1. मैक्सवेल का आण्विक वेग वितरण नियम (Maxwell's Distribution of Molecular Velocities)

गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, एक निश्चित तापमान पर गैस के सभी अणुओं का वेग एक समान नहीं होता है। लगातार आपस में और बर्तन की दीवारों से टकराने के कारण उनके वेग बदलते रहते हैं। जे.सी. मैक्सवेल (J.C. Maxwell) ने प्रायिकता (Probability) के आधार पर गैस के अणुओं के बीच वेगों के वितरण का एक गणितीय समीकरण दिया।

मैक्सवेल के वितरण नियम के अनुसार, किसी वेग $C$ और $(C + dC)$ के बीच वेग रखने वाले अणुओं की संख्या ($dN_c$) का अंश निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:

$$ \frac{dN_c}{N} = 4\pi \left( \frac{M}{2\pi RT} \right)^{3/2} e^{-MC^2/2RT} C^2 dC $$

जहाँ:

• \( dN_c \) = $C$ और $(C + dC)$ वेगों के मध्य वाले अणुओं की संख्या
• \( N \) = अणुओं की कुल संख्या
• \( M \) = गैस का मोलर द्रव्यमान
• \( T \) = परम ताप (Kelvin में)

2. आण्विक वेगों के प्रकार (Types of Molecular Velocities)

मैक्सवेल के वितरण वक्र (Distribution curve) के आधार पर हम मुख्य रूप से तीन प्रकार के आण्विक वेगों को परिभाषित करते हैं:

(i) प्रायिकतम वेग (Most Probable Velocity - \(v_{mp}\))

परिभाषा: किसी दिए गए तापमान पर गैस के अधिकतम अणुओं द्वारा प्रदर्शित किए जाने वाले वेग को प्रायिकतम वेग (Most Probable Velocity) कहते हैं। मैक्सवेल के वितरण वक्र का उच्चतम बिंदु (Peak) इसी वेग को दर्शाता है।

गणितीय सूत्र:

$$ v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} $$

यहाँ $R$ गैस नियतांक, $T$ परम ताप और $M$ मोलर द्रव्यमान है।

(ii) औसत वेग (Average Velocity - \(v_{avg}\))

परिभाषा: किसी गैस के सभी अणुओं के अलग-अलग वेगों के अंकगणितीय माध्य (Arithmetic mean) को औसत वेग कहा जाता है।

गणितीय सूत्र:

$$ v_{avg} = \frac{v_1 + v_2 + v_3 + ..... + v_n}{n} $$

मैक्सवेल के समीकरण से इसे इस प्रकार निकाला जाता है:

$$ v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} $$

(iii) वर्ग माध्य मूल वेग (Root Mean Square Velocity - \(v_{rms}\))

परिभाषा: गैस के सभी अणुओं के वेगों के वर्गों (Squares) के माध्य (Mean) के वर्गमूल (Square root) को वर्ग माध्य मूल वेग कहते हैं। अणुगति समीकरण के अनुसार यह सबसे महत्वपूर्ण वेग है।

गणितीय सूत्र:

$$ v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + ..... + v_n^2}{n}} $$

तापमान और मोलर द्रव्यमान के पदों में:

$$ v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} $$

वेगों के बीच का अनुपात (Ratio of Molecular Velocities)

समान तापमान पर किसी गैस के लिए इन तीनों वेगों का अनुपात इस प्रकार निकाला जाता है:

$$ v_{mp} : v_{avg} : v_{rms} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} : \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} : \sqrt{\frac{3RT}{M}} $$ $$ = \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3} $$ $$ = 1.414 : 1.595 : 1.732 $$

इसे सरल अनुपात में लिखने पर:

$$ v_{mp} : v_{avg} : v_{rms} = 1 : 1.128 : 1.224 $$

3. औसत गतिज ऊर्जा का निर्धारण (Determination of Average Kinetic Energy)

गैसों के अणुगति समीकरण (\( PV = \frac{1}{3}mNu^2 \)) के आधार पर, गैस की औसत गतिज ऊर्जा सीधे परम ताप (Absolute Temperature) पर निर्भर करती है।

1 मोल गैस की कुल गतिज ऊर्जा (\( E \)):

$$ E = \frac{3}{2}RT $$

प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा (\( \bar{e} \)):

$$ \bar{e} = \frac{E}{N_A} = \frac{3}{2} \left( \frac{R}{N_A} \right) T = \frac{3}{2}kT $$

जहाँ \( N_A \) अवोगाद्रो संख्या है और \( k \) बोल्ट्ज़मैन नियतांक (Boltzmann constant) है। इससे सिद्ध होता है कि गैस की औसत गतिज ऊर्जा उसकी रासायनिक प्रकृति या दाब पर निर्भर नहीं करती, बल्कि केवल तापमान पर निर्भर करती है।

4. ऊर्जा के समविभाजन का नियम (Law of Equipartition of Energy)

नियम: इस सिद्धांत के अनुसार, "तापीय साम्यावस्था (Thermal Equilibrium) में, किसी निकाय (System) की कुल गतिज ऊर्जा उसकी सभी संभावित स्वतंत्रता की कोटियों (Degrees of Freedom) में समान रूप से विभाजित होती है।"

प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि के लिए, एक अणु की औसत ऊर्जा \( \frac{1}{2}kT \) होती है (या 1 मोल के लिए \( \frac{1}{2}RT \))।

स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom - \( f \))

स्वतंत्रता की कोटि उन स्वतंत्र निर्देशांकों (Coordinates) की संख्या है जो किसी अणु की स्थिति या गति को पूर्ण रूप से परिभाषित करने के लिए आवश्यक होते हैं।

• एक-परमाण्विक गैस (Monoatomic gas, जैसे He, Ne): इनमें केवल स्थानांतरीय गति (Translational motion) होती है। इसलिए \( f = 3 \)।
• द्वि-परमाण्विक गैस (Diatomic gas, जैसे \(H_2, O_2\)): 3 स्थानांतरीय + 2 घूर्णी (Rotational) = \( f = 5 \)। (उच्च ताप पर कंपन गति भी शामिल हो सकती है, जिससे \( f = 7 \) हो जाता है)।
• बहु-परमाण्विक गैस (Polyatomic gas, जैसे \(CO_2\)): 3 स्थानांतरीय + 3 घूर्णी (अरेखीय के लिए) = \( f = 6 \)।

5. ऊष्माधारिता (\(C_p, C_v\)) का आण्विक आधार (Molecular Basis of Heat Capacity)

ऊर्जा के समविभाजन नियम का उपयोग करके हम गैसों की मोलर ऊष्माधारिता (Molar Heat Capacity) की गणना कर सकते हैं।

स्थिर आयतन पर ऊष्माधारिता (\( C_v \)) गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा का तापमान के सापेक्ष अवकलज है:

$$ C_v = \frac{dE}{dT} $$

चूँकि 1 मोल गैस की कुल ऊर्जा \( E = f \times \frac{1}{2}RT \) है, अतः:

$$ C_v = \frac{f}{2}R $$

स्थिर दाब पर ऊष्माधारिता (\( C_p \)) मेयर के सूत्र (\( C_p = C_v + R \)) से दी जाती है:

$$ C_p = \frac{f}{2}R + R = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R $$

विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात (\( \gamma \)):

$$ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{\left( \frac{f}{2} + 1 \right) R}{\frac{f}{2} R} = 1 + \frac{2}{f} $$

विभिन्न गैसों के लिए \( C_v, C_p \) और \( \gamma \)

गैस की प्रकृति	\( f \)	\( C_v \) (\( \frac{f}{2}R \))	\( C_p \) (\( C_v + R \))	\( \gamma = C_p / C_v \)
एक-परमाण्विक (Monoatomic)	3	\( \frac{3}{2}R \)	\( \frac{5}{2}R \)	\( \frac{5}{3} \approx 1.67 \)
द्वि-परमाण्विक (Diatomic)	5	\( \frac{5}{2}R \)	\( \frac{7}{2}R \)	\( \frac{7}{5} = 1.40 \)
बहु-परमाण्विक (Polyatomic)	6	\( 3R \)	\( 4R \)	\( \frac{4}{3} \approx 1.33 \)

6. परीक्षा-उपयोगी अत्यंत महत्वपूर्ण आंकिक प्रश्न (Solved Numericals)

प्रश्न 1: 300 K पर नाइट्रोजन गैस (\( N_2 \)) के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग (\( v_{rms} \)) और प्रायिकतम वेग (\( v_{mp} \)) ज्ञात कीजिए। (N = 14, R = 8.314 J/K mol)

विस्तृत हल:

• गैस का मोलर द्रव्यमान \( (M) = 28 \text{ g/mol} = 28 \times 10^{-3} \text{ kg/mol} \)
• तापमान \( (T) = 300 \text{ K} \)
• गैस नियतांक \( (R) = 8.314 \text{ J/K mol} \)

1. वर्ग माध्य मूल वेग (\( v_{rms} \)):

$$ v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} $$ $$ v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{28 \times 10^{-3}}} $$ $$ v_{rms} = \sqrt{\frac{7482.6}{28 \times 10^{-3}}} = \sqrt{267235.7} $$

उत्तर: \( v_{rms} \approx 516.9 \text{ m/s} \)

2. प्रायिकतम वेग (\( v_{mp} \)):

$$ v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} $$ $$ v_{mp} = \sqrt{\frac{2 \times 8.314 \times 300}{28 \times 10^{-3}}} $$ $$ v_{mp} = \sqrt{\frac{4988.4}{28 \times 10^{-3}}} = \sqrt{178157.14} $$

उत्तर: \( v_{mp} \approx 422.1 \text{ m/s} \)

प्रश्न 2: किस तापमान पर ऑक्सीजन गैस (\( O_2 \)) के अणुओं का \( v_{rms} \) वेग, 300 K पर कार्बन मोनोऑक्साइड (\( CO \)) गैस के अणुओं के \( v_{rms} \) वेग के ठीक बराबर होगा?

विस्तृत हल:

• \( O_2 \) का मोलर द्रव्यमान \( M_{O_2} = 32 \text{ g/mol} \)
• \( CO \) का मोलर द्रव्यमान \( M_{CO} = 12 + 16 = 28 \text{ g/mol} \)

प्रश्नानुसार:

$$ (v_{rms})_{O_2} = (v_{rms})_{CO} $$ $$ \sqrt{\frac{3 R T_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3 R T_{CO}}{M_{CO}}} $$

दोनों तरफ वर्ग करने और 3R हटाने पर:

$$ \frac{T_{O_2}}{32} = \frac{300}{28} $$ $$ T_{O_2} = \frac{300 \times 32}{28} $$ $$ T_{O_2} = \frac{9600}{28} \approx 342.85 \text{ K} $$

उत्तर: 342.85 K तापमान पर दोनों गैसों का वर्ग माध्य मूल वेग समान होगा।

प्रश्न 3: 27°C पर 8.0 ग्राम मीथेन (\( CH_4 \)) गैस के अणुओं की कुल औसत गतिज ऊर्जा (Average Kinetic Energy) जूल (Joules) में ज्ञात कीजिए। (R = 8.314 J K⁻¹ mol⁻¹)

विस्तृत हल:

• मीथेन का द्रव्यमान \( (w) = 8.0 \text{ g} \)
• मीथेन (\( CH_4 \)) का मोलर द्रव्यमान \( (M) = 12 + 4 = 16 \text{ g/mol} \)
• मोलों की संख्या \( (n) = \frac{w}{M} = \frac{8.0}{16} = 0.5 \text{ mole} \)
• तापमान \( (T) = 27^\circ\text{C} = 27 + 273 = 300 \text{ K} \)

गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, \( n \) मोल गैस की कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र है:

$$ E = \frac{3}{2} nRT $$

मान रखने पर:

$$ E = \frac{3}{2} \times 0.5 \times 8.314 \times 300 $$ $$ E = 1.5 \times 0.5 \times 8.314 \times 300 $$ $$ E = 0.75 \times 2494.2 $$ $$ E = 1870.65 \text{ J} $$

उत्तर: 8.0 ग्राम मीथेन गैस की कुल औसत गतिज ऊर्जा 1870.65 जूल होगी।